Calculadora de combinações e permutações

Contar com fatoriais

A análise combinatória responde à pergunta «de quantas maneiras?» e baseia-se no fatorial. O fatorial de n, escrito n!, multiplica todos os números inteiros de 1 até n e, por definição, 0! = 1. Um fatorial conta de quantas maneiras se podem dispor n itens distintos em fila: há 5! = 120 ordens possíveis para cinco livros diferentes numa prateleira. Os fatoriais crescem extremamente depressa, por isso mesmo valores modestos produzem quantidades enormes. Esta calculadora mostra o fatorial diretamente e também o usa dentro das fórmulas de combinações e permutações.

As permutações contam seleções ordenadas. Escolher r itens de n quando a ordem importa usa nPr = n! ÷ (n − r)!. As combinações contam seleções sem ordem, em que um grupo é o mesmo independentemente da ordem, e usam nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Como cada combinação pode ser disposta em r! ordens, as duas estão ligadas por nPr = nCr × r!. É por isso que as permutações são sempre maiores ou iguais às combinações correspondentes. O widget desenvolve a fórmula escolhida abaixo da resposta para que você possa acompanhar exatamente como a contagem foi obtida.

Quando usar cada uma

Use permutações quando a ordem importa: as posições de chegada numa corrida, a disposição de lugares, os dígitos de um PIN ou a ordem em que as músicas tocam numa playlist. Use combinações quando a ordem não importa: os números da loteria, uma mão de cartas, a escolha de uma comissão ou os ingredientes de uma pizza. Um teste rápido é perguntar se trocar dois itens escolhidos cria um resultado realmente diferente: se sim, é uma permutação; se não, é uma combinação. Lembre-se de que r não pode exceder n, pois não é possível escolher mais itens do que existem, e a calculadora valida isso para você. Como os resultados usam os números padrão do JavaScript, fatoriais muito grandes tornam-se aproximados e acabam por estourar para infinito, mas para problemas típicos de probabilidade, estatística e lições de casa os valores são exatos e calculados inteiramente no seu dispositivo.