Kombinationen- und Permutationen-Rechner

Zählen mit Fakultäten

Die Kombinatorik beantwortet die Frage „Auf wie viele Arten?“ und baut auf der Fakultät auf. Die Fakultät von n, geschrieben n!, multipliziert alle ganzen Zahlen von 1 bis n, und per Definition gilt 0! = 1. Eine Fakultät zählt, auf wie viele Arten Sie n verschiedene Objekte in einer Reihe anordnen können: Fünf verschiedene Bücher lassen sich auf 5! = 120 Arten in ein Regal stellen. Fakultäten wachsen extrem schnell, weshalb schon moderate Werte riesige Anzahlen ergeben. Dieser Rechner zeigt die Fakultät direkt an und verwendet sie auch in den Formeln für Kombinationen und Permutationen.

Permutationen zählen geordnete Auswahlen. Wählt man r von n Objekten und die Reihenfolge ist wichtig, gilt nPr = n! ÷ (n − r)!. Kombinationen zählen ungeordnete Auswahlen, bei denen eine Gruppe unabhängig von der Reihenfolge dieselbe ist, und verwenden nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Da sich jede Kombination in r! Reihenfolgen anordnen lässt, sind beide durch nPr = nCr × r! verbunden. Deshalb sind Permutationen immer größer oder gleich den entsprechenden Kombinationen. Das Widget schreibt die gewählte Formel unter dem Ergebnis aus, sodass Sie genau nachvollziehen können, wie die Anzahl zustande kam.

Wann Sie welche verwenden

Verwenden Sie Permutationen, wenn die Reihenfolge zählt: Platzierungen in einem Rennen, Sitzordnungen, PIN-Ziffern oder die Reihenfolge der Songs in einer Playlist. Verwenden Sie Kombinationen, wenn die Reihenfolge keine Rolle spielt: Lottozahlen, ein Kartenblatt, die Wahl eines Ausschusses oder der Belag einer Pizza. Ein schneller Test: Fragen Sie sich, ob das Vertauschen zweier gewählter Elemente ein wirklich anderes Ergebnis ergibt – wenn ja, handelt es sich um eine Permutation, wenn nein, um eine Kombination. Denken Sie daran, dass r nicht größer als n sein darf, da Sie nicht mehr Objekte auswählen können, als vorhanden sind; der Rechner prüft das für Sie. Da die Ergebnisse auf Standardzahlen von JavaScript beruhen, werden sehr große Fakultäten ungenau und laufen schließlich zu unendlich über. Für typische Aufgaben aus Wahrscheinlichkeitsrechnung, Statistik und Hausaufgaben sind die Werte jedoch exakt und werden vollständig auf Ihrem Gerät berechnet.