Kalkulator kombinacji i permutacji

Liczenie za pomocą silni

Kombinatoryka odpowiada na pytanie „na ile sposobów?” i opiera się na silni. Silnia liczby n, zapisywana jako n!, mnoży wszystkie liczby całkowite od 1 do n, a z definicji 0! = 1. Silnia wyznacza, na ile sposobów można ustawić w rzędzie n różnych elementów: pięć różnych książek na półce można ułożyć na 5! = 120 sposobów. Silnie rosną niezwykle szybko, dlatego nawet niewielkie wartości dają ogromne liczby. Ten kalkulator pokazuje silnię bezpośrednio, a także wykorzystuje ją we wzorach na kombinacje i permutacje.

Permutacje (wariacje) liczą wybory uporządkowane. Wybór r elementów spośród n, gdy kolejność ma znaczenie, korzysta ze wzoru nPr = n! ÷ (n − r)!. Kombinacje liczą wybory nieuporządkowane, w których grupa jest taka sama niezależnie od kolejności, i używają wzoru nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Ponieważ każdą kombinację można ustawić na r! sposobów, oba wzory łączy zależność nPr = nCr × r!. Dlatego permutacje są zawsze większe lub równe odpowiednim kombinacjom. Widżet rozpisuje wybrany wzór pod odpowiedzią, dzięki czemu możesz dokładnie prześledzić, jak powstał wynik.

Kiedy używać której

Permutacji używaj, gdy kolejność ma znaczenie: miejsca na mecie w wyścigu, rozmieszczenie gości przy stole, cyfry kodu PIN lub kolejność utworów na liście odtwarzania. Kombinacji używaj, gdy kolejność nie ma znaczenia: liczby w loterii, karty na ręce, wybór komitetu lub dodatki do pizzy. Szybki test polega na zadaniu sobie pytania, czy zamiana dwóch wybranych elementów daje naprawdę inny wynik — jeśli tak, to permutacja; jeśli nie, to kombinacja. Pamiętaj, że r nie może przekraczać n, ponieważ nie można wybrać więcej elementów, niż istnieje, a kalkulator sprawdza to za Ciebie. Ponieważ wyniki opierają się na standardowych liczbach JavaScript, bardzo duże silnie stają się przybliżone i w końcu przekraczają zakres, dając nieskończoność, lecz w typowych zadaniach z prawdopodobieństwa, statystyki i zadaniach domowych wartości są dokładne i liczone w całości na Twoim urządzeniu.